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  3. [2005年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求 Z=2X－y的概率密度fZ(z)；

[2005年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 求 Z=2X－y的概率密度fZ(z)；

admin2019-05-11  47
问题 [2005年]  设二维随机变量(X，Y)的概率密度为
         
求
Z=2X－y的概率密度fZ(z)；
选项
答案解一 Z的分布函数为 [*] 注意到2x－y=z与z轴的交点为z／2．区域G={(x，y)|2x－y≤z}与f(x，y)的非零值的区域D相交的情况可由点z／2的位置确定． ①当z／2＜0时，区域G={(x，y)|2x－y≤z}在直线2x—y=z的上方它与D不相交(见图3．3．3．5(a))．故 [*] 从而 fZ(z)=FZ’(z)=0． ②当0≤z／2＜1即0≤z＜2时，区域G为直线2x－y=z的上方，它与D相交(见图3．3．3．5(b))，其相交部分的面积可由D的面积1减去小三角形面积[(2－z)(1－z／2)]／2，得到，即 [*] 当0≤z／2≤1即0≤z≤2时(见图3．3．3．5(b))，也可用二重积分求出FZ(z)．事实上，有 [*] 故fZ(z)=FZ’(z)=1-z/2. ③当z／2≥1时(见图3．3．3．5(c))区域G：2x－y≤z与D的交集为D，因而 [*] 故 fZ(z)=FZ’(z)=0． 综上所述，得到 [*] 解二 用卷积公式(3．3．3．1)求之，即 [*] 因f(x，y)取非零值的区域边界与坐标轴的交点为(0，0)，(1，0)，(1，2)．将这些坐标值分别代入z=2x－y中得到z=0，2．于是分z＜0，0≤z<2，z≥2三种情况讨论．因y=2x－z，故 [*] 因而当z＜0或z≥2时，fZ(z)=0．当0≤z＜2时，由图3．3．3．5(d)得到 [*] 综上所述，Z的概率密度函数为 [*]
解析
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考研数学三

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