首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α,证明: (Ⅰ)矩阵B=[α,Aα,A4α]可逆; (Ⅱ)BTB为正定矩阵.
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A2α线性无关,且A3α=3Aα-2A2α,证明: (Ⅰ)矩阵B=[α,Aα,A4α]可逆; (Ⅱ)BTB为正定矩阵.
admin
2016-01-25
56
问题
设A为三阶方阵,α为三维列向量,已知向量组α,Aα,A
2
α线性无关,且A
3
α=3Aα-2A
2
α,证明:
(Ⅰ)矩阵B=[α,Aα,A
4
α]可逆;
(Ⅱ)B
T
B为正定矩阵.
选项
答案
(1)证一 由A
3
α=3Aα一2A
2
α得到 A
4
α=A.A
3
α=3A
2
α一2A
3
α=3A
2
α一2(3Aα一2A
2
α)=一6Aα+7A
2
α, 则 [α,Aα,A
4
α]=[α,Aα,A
2
α][*]=[α,Aα,A
2
α]G. 因|G|=[*]=7≠0,α,Aα,A
2
α线性无关,故α,Aα,A
4
α线性无关,所以矩阵B可逆. 证二 设k
1
α+k
2
Aα+k
3
A
4
α=0,即 k
1
α+k
2
Aα+k
3
(7A
2
α一6Aα)=0, 亦即 k
1
α+(k
2
-6k
2
)Aα+7k
3
A
2
α=0. 因α,Aα,A
4
α线性无关,故 k
1
=0, k
2
=6k
3
=0, 7k
3
=0, 即 k
1
=k
2
=k
3
=0, 所以α,Aα,A
4
α线性无关,因而矩阵B可逆. (2)因(B
T
B)
T
=B
T
(B
T
)
T
=B
T
B,故B
T
B为实对称矩阵. 又对任意x≠0,因B可逆,有BX≠0,于是有 X
T
(B
T
B)X=(BX)
T
(BX)>0, 故二次型X
T
B
T
BX是正定二次型,从而B
T
B为正定矩阵.
解析
(1)利用矩阵B的可逆性可构造矩阵证之.为此将B表示为两个可逆矩阵的乘积,也可利用向量组α,Aα,A
2
α线性无关的性质用定义证明.
(2)用定义证明X
T
B
T
BX为正定二次型.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WKU4777K
0
考研数学三
相关试题推荐
资本积累规模的大小取决于
结合材料回答问题:党的十八大以来,以习近平同志为核心的党中央坚持观大势、谋全局、干实事,成功驾驭我国经济发展大局,在实践中形成了以新发展理念为主要内容的习近平新时代中国特色社会主义经济思想,为新时代中国特色社会主义经济建设提供了根本遵循。突如其来
结合材料回答问题:材料1在对于时局的估量和伴随而来的我们的行动问题上,我们党内有一部分同志还缺少正确的认识。他们虽然相信革命高潮不可避免地要到来,却不相信革命高潮有迅速到来的可能。……他们这种全国范围的、包括一切地方的、先争取群众后建立
1990年4月4日,第七届全国人大第三次会议审议并通过《中华人民共和国香港特别行政区基本法》,这是“一国两制”方针由构想变为现实进程中里程碑式的事件。30年星移斗转,香港基本法经历了实践的充分检验,展现出强大生命力。实践证明,这是一部能够为“一国两制”伟
马克思指出,扩大再生产过程中的追加资本,“它一开始就没有一个价值原子不是由别人的无酬劳动产生的”。这句话表明()。
材料11927年大革命失败后,国内政治局势急剧逆转,原来生机勃勃的中国南部一片腥风血雨。蒋介石在南京建立政权后,经过一系列新军阀混战,建立起在全国范围内的统治。这个政权对外实行反苏、亲帝的政策,对内竭力维护官僚买办资产阶级和封建地主阶级的利益,限制和压制
建设现代化经济体系,就是坚持质量第一、效益优先,推动经济发展质量变革、效率变革、动力变革,提高全要素生产率,不断增强我国经济创新力和竞争力。具体地说,就是深化供给侧结构性改革、加快建设创新型国家、实施乡村振兴战略、实施区域协调发展战略、加快完善社会主义市场
求下列图形的面积:(1)y=x2-x+2与通过坐标原点的两条切线所围成的图形;(2)y2=2x与点(1/2,1)处的法线所围成的图形.
写出过点A(2,0,0),B(0,1,0),C(0,0,4)的圆周方程.
作适当的变换,计算下列二重积分:
随机试题
群体压力来自于()
Christmaswascoming.Wewerehaving【C1】______weatherinLondonthatRobert【C2】______ChristmasweekinanItalianseasidewehad
体质因素与精神状态主要能影响人体的( )。
下列对港澳地区的铁路运输的表述错误的有()。
改革开放三十多年以来,广东经济发展连上新台阶,综合实力不断实现大跨越。1979—2012年,世界经济年均增长速度为2.8%,中国增速为9.8%,广东增速则达13.3%。持续较快的经济增速,推动广东经济总量不断跃上新台阶。自1989年开始,广东GDP总量(国
在后果预测中,下列()方法属于德尔菲法。
Ifyouwant______,youshouldspeakslowlyandclearlytothelisteners.
Inrecentyears,moreandmoreforeignersareinvolvedintheteachingprogramsoftheUnitedStates.Boththeadvantagesandth
Mostmeetingshaveanagenda.Foraformalmeeting,thisdocumentmaybehandedoutinadvancetoallparticipants.Foraninfor
NationalGeographicLiftsVeilonAirForceOneUntilFranklinD.Roosevelt,noU.S.Presidenttraveledbyairwhileinoffic
最新回复
(
0
)