2. 考研
  3. 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．

设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．

admin2020-05-02  28
问题 设函数f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=g"(ξ)．
选项
答案构造辅助函数F(x)=f(x)－g(x)，由题设有F(a)=F(b)=0．又f(x)，g(x)在(a，b)内具有相等的最大值，不妨设存在x1＜x2，x1，x2∈(a，b)使得 [*] 若x1=x2，令c=x1，则F(c)=0． 若x1＜x，因为F(x1)=f(x1)－g(x1)≥0，F(x2)=f(x2)－g(x2)≤0，从而存在c∈[x1，x2][*][a，b]，使F(c)=0． 分别在区间[a，c]，[c，b]上使用罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得F′(ξ1)=F′(ξ2)=0． 再对F′(x)在区间[ξ1，ξ2]上使用罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](a，b)，使得F"(ξ)=0，即f"(ξ)=g"(ξ)．
解析
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考研数学一

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