2. 考研
  3. 已知A为3阶矩阵，存在3个不同的数λ1，λ2，λ3，使得Aai＝λiαi(i＝1，2，3)．令β＝α1＋α2＋α3． (1)证明：β，Aβ，A2β线性无关． (2)若A3β＝Aβ，求R(A－E)及行列式｜A＋2E｜．

已知A为3阶矩阵，存在3个不同的数λ1，λ2，λ3，使得Aai＝λiαi(i＝1，2，3)．令β＝α1＋α2＋α3． (1)证明：β，Aβ，A2β线性无关． (2)若A3β＝Aβ，求R(A－E)及行列式｜A＋2E｜．

admin2020-06-05  36
问题 已知A为3阶矩阵，存在3个不同的数λ1，λ2，λ3，使得Aai＝λiαi(i＝1，2，3)．令β＝α1＋α2＋α3．
(1)证明：β，Aβ，A2β线性无关．
(2)若A3β＝Aβ，求R(A－E)及行列式｜A＋2E｜．
选项
答案(1)设k1β＋k2Aβ＋k3A2β＝0．由题设Aa r＝λiαi(i＝1，2，3)，于是 Aβ＝A(α1＋α2＋α3)＝Aα1＋Aα2＋Aα3 ＝λ1α1＋λ2α2＋λ3α3 A2β＝A(Aβ)＝A(λ1α1＋λ2α2＋λ3α3) ＝λ12α1＋λ22α2＋λ32α32 进而将Aβ，A2β代入k1β＋k2Aβ＋k3A2β＝0得 (k1＋k2λ1＋k3λ12)α1＋(k1＋k2λ2＋k3λ22)α2＋(k1＋k2λ3＋k3λ32)α3＝0 又α1，α2，α3线性无关，从而 [*] 注意到λ3，λ2，λ3各不相同，于是k1＝k2＝k3＝0，因此β，Aβ，A2β线性无关． (2)由A3 β＝Aβ，有 A(β，Aβ，A2β)＝(Aβ，A2β，A3β)＝(Aβ，A2β，Aβ) ＝(β，Aβ，A2β)[*] 令P＝(β，Aβ，A2β)，则P＝(β，Aβ，A2β)可逆，且 P﹣1 AP＝[*]＝B 故而 R(A－E)＝R(B－E)＝R[*]＝2 ｜A＋2E｜＝｜B＋2E｜[*]＝6
解析
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考研数学一

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