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已知A为3阶矩阵,存在3个不同的数λ1,λ2,λ3,使得Aai=λiαi(i=1,2,3).令β=α1+α2+α3. (1)证明:β,Aβ,A2β线性无关. (2)若A3β=Aβ,求R(A-E)及行列式|A+2E|.
已知A为3阶矩阵,存在3个不同的数λ1,λ2,λ3,使得Aai=λiαi(i=1,2,3).令β=α1+α2+α3. (1)证明:β,Aβ,A2β线性无关. (2)若A3β=Aβ,求R(A-E)及行列式|A+2E|.
admin
2020-06-05
39
问题
已知A为3阶矩阵,存在3个不同的数λ
1
,λ
2
,λ
3
,使得Aa
i
=λ
i
α
i
(i=1,2,3).令β=α
1
+α
2
+α
3
.
(1)证明:β,Aβ,A
2
β线性无关.
(2)若A
3
β=Aβ,求R(A-E)及行列式|A+2E|.
选项
答案
(1)设k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0.由题设Aa r=λ
i
α
i
(i=1,2,3),于是 Aβ=A(α
1
+α
2
+α
3
)=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
A
2
β=A(Aβ)=A(λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+λ
3
α
3
) =λ
1
2
α
1
+λ
2
2
α
2
+λ
3
2
α
3
2
进而将Aβ,A
2
β代入k
1
β+k
2
Aβ+k
3
A
2
β=0得 (k
1
+k
2
λ
1
+k
3
λ
1
2
)α
1
+(k
1
+k
2
λ
2
+k
3
λ
2
2
)α
2
+(k
1
+k
2
λ
3
+k
3
λ
3
2
)α
3
=0 又α
1
,α
2
,α
3
线性无关,从而 [*] 注意到λ
3
,λ
2
,λ
3
各不相同,于是k
1
=k
2
=k
3
=0,因此β,Aβ,A
2
β线性无关. (2)由A
3
β=Aβ,有 A(β,Aβ,A
2
β)=(Aβ,A
2
β,A
3
β)=(Aβ,A
2
β,Aβ) =(β,Aβ,A
2
β)[*] 令P=(β,Aβ,A
2
β),则P=(β,Aβ,A
2
β)可逆,且 P
﹣1
AP=[*]=B 故而 R(A-E)=R(B-E)=R[*]=2 |A+2E|=|B+2E|[*]=6
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Wyv4777K
0
考研数学一
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