2. 考研
  3. 设随机变量(X，Y)～N(0，0；1，4；0)． (Ⅰ)若X+Y与X+aY相互独立，求a的值，并求Z=X+aY的概率密度f(z)； (Ⅱ)计算D(X2一2Y2)．

设随机变量(X，Y)～N(0，0；1，4；0)． (Ⅰ)若X+Y与X+aY相互独立，求a的值，并求Z=X+aY的概率密度f(z)； (Ⅱ)计算D(X2一2Y2)．

admin2019-08-11  66
问题 设随机变量(X，Y)～N(0，0；1，4；0)．
    (Ⅰ)若X+Y与X+aY相互独立，求a的值，并求Z=X+aY的概率密度f(z)；
    (Ⅱ)计算D(X2一2Y2)．
选项
答案(Ⅰ)由X+Y与X+Y独立，有X+Y与X+aY不相关．又对二维正态分布ρXY=0←→X与Y独立． 故Cov(X+Y，X+aY)=Cov(X，X)+Coy(X，aY)+Cov(Y，X)+aCov(Y，Y) =DX+aDY=1+a．4=0 则 a=一[*]． (X，Y)～N(0，0；1，4；0)，则X～N(0，1)，Y～N(0，4)，且X与Y独立． [*] (Ⅱ)由X与Y独立，有X2与Y2独立，则D(X2一2Y2)=D(X2)+4D(Y2)． [*]
解析
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考研数学三

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