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设f(x,y)具有二阶连续偏导数.证明:由方程f(x,y)=0所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是 f(a,b)=0,fˊx(a,b)=0,fˊy(a,b)≠0. 且当r(a,b)>0时,b=φ(a)是极大值;当r(a,b)
设f(x,y)具有二阶连续偏导数.证明:由方程f(x,y)=0所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是 f(a,b)=0,fˊx(a,b)=0,fˊy(a,b)≠0. 且当r(a,b)>0时,b=φ(a)是极大值;当r(a,b)
admin
2016-09-13
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问题
设f(x,y)具有二阶连续偏导数.证明:由方程f(x,y)=0所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是
f(a,b)=0,fˊ
x
(a,b)=0,fˊ
y
(a,b)≠0.
且当r(a,b)>0时,b=φ(a)是极大值;当r(a,b)<0时,b=φ(a)是极小值,其中
选项
答案
本题是一道新颖的计算性证明题,考查抽象函数的极值判别和高阶偏导数计算,计算量大,难度不小. y=φ(x)在x=a处取得极值的必要条件是φˊ(a)=0.而 φˊ(x)=[*](fˊ
y
(x,y)≠0). 设b=φ(a),则f(a,b)=0,[*]=0. 于是fˊ
x
(a,b)=0,fˊ
y
(a,b)≠0.又 [*] 当[*]>0时,φˊˊ(a)<0,故b=φ(a)是极大值; 当[*]<0时,φˊˊ(a)>0,故b=φ(a)是极小值.
解析
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考研数学三
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