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已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,f(x,y)dxdy=a, 其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=xyfxy(x,y)dxdy。
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,f(x,y)dxdy=a, 其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=xyfxy(x,y)dxdy。
admin
2018-05-25
41
问题
已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数,且f(1,y)=0,f(x,1)=0,
f(x,y)dxdy=a,
其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1},计算二重积分I=
xyf
xy
(x,y)dxdy。
选项
答案
将二重积分[*]xyf
xy
(x,y)dxdy,转化为累次积分可得 [*]xyf
xy
(x,y)dxdy=∫
0
x
dy∫
0
x
xyf
xy
(x,y)dx, 首先考虑∫
0
x
xyf
xy
(x,y)dx,注意这里是把变量y看作常数,故有 ∫
0
x
xyf
xy
(x,y)dx=y∫
0
x
xdf
y
(x,y) =xyf
y
(x,y)|
0
x
一∫
0
x
yf
y
(x,y)dx =yf
y
(1,y)一∫
0
x
yf
y
(x,y)dx。 由f(1,y)=f(x,1)=0易知f
y
(1,y)=A(x,1)=0.故 ∫
0
x
xyf
xy
(x,y)dx=一∫
0
x
yf
y
(x,y)dx, 所以[*]xyf
xy
(x,y)dxdy=∫
0
x
dy∫
0
x
xyf
xy
(x,y)dx=一∫
0
x
dy∫
0
x
yf
y
(x,y)dx, 对该积分交换积分次序可得 一∫
0
x
dy∫
0
x
yf
y
(x,y)dx=一∫
0
x
dx∫
0
x
yf
y
(x,y)dy。 再考虑积分∫
0
x
yf
y
(x,y)dy,注意这里是把变量x看作常数,故有 ∫
0
x
yf
y
(x,y)dy=∫
0
x
ydf(x,y)=yf(x,y)|
0
x
一∫
0
x
f(x,y)dy=一∫
0
x
f(x,y)dy, 因此 [*]xyf
xy
(x,y)dxdy=一∫
0
x
dx∫
0
x
yf
y
(x,y)dy=∫
0
x
dx∫
0
x
f(x,y)dy=[*]f(x,y)dxdy=a。
解析
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考研数学一
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