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  3. 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a， 其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyfxy(x，y)dxdy。

已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a， 其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyfxy(x，y)dxdy。

admin2018-05-25  27
问题 已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，
其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyfxy(x，y)dxdy。
选项
答案将二重积分[*]xyfxy(x，y)dxdy，转化为累次积分可得 [*]xyfxy(x，y)dxdy=∫0xdy∫0xxyfxy(x，y)dx， 首先考虑∫0xxyfxy(x，y)dx，注意这里是把变量y看作常数，故有 ∫0xxyfxy(x，y)dx=y∫0xxdfy(x，y) =xyfy(x，y)｜0x一∫0xyfy(x，y)dx =yfy(1，y)一∫0xyfy(x，y)dx。 由f(1，y)=f(x，1)=0易知fy(1，y)=A(x，1)=0．故 ∫0xxyfxy(x，y)dx=一∫0xyfy(x，y)dx， 所以[*]xyfxy(x，y)dxdy=∫0xdy∫0xxyfxy(x，y)dx=一∫0xdy∫0xyfy(x，y)dx， 对该积分交换积分次序可得 一∫0xdy∫0xyfy(x，y)dx=一∫0xdx∫0xyfy(x，y)dy。 再考虑积分∫0xyfy(x，y)dy，注意这里是把变量x看作常数，故有 ∫0xyfy(x，y)dy=∫0xydf(x，y)=yf(x，y)｜0x一∫0xf(x，y)dy=一∫0xf(x，y)dy， 因此 [*]xyfxy(x，y)dxdy=一∫0xdx∫0xyfy(x，y)dy=∫0xdx∫0xf(x，y)dy=[*]f(x，y)dxdy=a。
解析
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考研数学一

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