(2018年)设数列{xn}满足：x1＞0，xnexn+1=exn一1(n=1，2，…)．证明{xn}收敛，并求．

admin2018-07-24 241

问题 (2018年)设数列{x_n}满足：x₁＞0，x_ne^x_n+1=e^x_n一1(n=1，2，…)．证明{x_n}收敛，并求

．

选项

答案由于x₁≠0，所以 [*] 根据微分中值定理，存在ξ∈(0，x₁)，使得 [*] 所以e^x₂=e^ξ，故0＜x₂＜x₁．假设0＜x_n+1＜x_n，则 [*] 所以0＜x_n+2＜x_n+1．故{x_n}是单调减少的数列，且有下界，从而{x_n}收敛．设 [*] 得ae^a=e^a一1．易知a=0为其解．令f(x)=xe^x一e^x+1，则f(x)=xe^x．当x＞0时，f’(x)＞0，函数f(x)在[0，+∞)上单调增加，所以a=0是方程ae^a=e^a一1在[0，+∞) 上的唯一解，故 [*]

解析

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考研数学三

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