2. 考研
  3. 已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(1－a)χ12＋(1－a)χ22＋2χ32＋2(1＋a)χ1χ2的秩为2． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换χ＝Oy，把f(χ1，χ2，χ3)化成标准形； (Ⅲ)求方程f(χ1，χ2，χ3)＝0

已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(1－a)χ12＋(1－a)χ22＋2χ32＋2(1＋a)χ1χ2的秩为2． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)求正交变换χ＝Oy，把f(χ1，χ2，χ3)化成标准形； (Ⅲ)求方程f(χ1，χ2，χ3)＝0

admin2017-06-26  49
问题 已知二次型f(χ1，χ2，χ3)＝(1－a)χ12＋(1－a)χ22＋2χ32＋2(1＋a)χ1χ2的秩为2．
    (Ⅰ)求a的值；
    (Ⅱ)求正交变换χ＝Oy，把f(χ1，χ2，χ3)化成标准形；
    (Ⅲ)求方程f(χ1，χ2，χ3)＝0的解．
选项
答案(Ⅰ)由于二次型f的秩为2，即对应的矩阵A＝[*]的秩为2， 所以有[*]＝－4a＝0，得a＝0． (Ⅱ)当a＝0时，A＝[*]，计算可得A的特征值为λ1＝λ2＝2，λ3＝0．解齐次线性方程组(2E－A)χ＝0，得A的属于λ1＝2的线性无关的特征向量为 η1＝(1，1，0)T，η2＝(0，0，1)T 解齐次线性方程组(0E－A)χ＝0，得A的属于λ3＝0的线性无关的特征向量为 η3＝(－1，1，0)T 易见η1，η2，η3两两正交．将η1，η2，η3单位化得A的标准正交的特征向量为 e1＝[*](1，1，0)T，e2＝(0，0，1)T，e3＝[*](－1，1，0)T 取Q＝(e1，e2，e3)，则Q为正交矩阵． 令X＝Qy，得f的标准形为 f(χ1，χ2，χ3)＝λ1y12＋λ2y22＋λ3y32＝2y12＋2y22 (Ⅲ)在正交变换X＝Qy下，f(χ1，χ2，χ3)＝0化成2y12＋2y22＝0，解之得y1＝y2＝0，从而 χ＝[*]＝y3e3＝k(－1，1，0)T，其中k为任意常数．
解析
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考研数学三

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