设f(x)可导，且有f’(x)+xf’(x一1)=4，又∫01f(xt)dx+∫0xf(t一1)dt=x3+x2+2x，求f(x)．

admin2017-07-26 29

问题设f(x)可导，且有f’(x)+xf’(x一1)=4，又∫₀¹f(xt)dx+∫₀^xf(t一1)dt=x³+x²+2x，求f(x)．

选项

答案因为∫₀¹f(xt)dt[*]∫₀^xf(u)du，由题设有 ∫₀^xf(u)du+x∫₀^xf(t一1)dt=x⁴+x³+2x²．两边对x求导得 f(x)+∫₀^xf(t一1)dt+xf(x一1)=4x³+3x²+4x．两边对x再求导得 f’(x)+f(x一1)+f(x一1)+xf’(x一1)=12x²+6x+4．由f’(x)+xf’(x一1)=4，得f(x一1)=6x²+3x．所以， f(x)=6(x+1)²+3(x+1)=6x²+15x+9．

解析

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