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设(I)函数f(x)在[0,+∞)上连续,且满足0≤f(x)≤ex一1; (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别交于点P2和P1; (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P1P2之
设(I)函数f(x)在[0,+∞)上连续,且满足0≤f(x)≤ex一1; (Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别交于点P2和P1; (Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P1P2之
admin
2017-10-19
78
问题
设(I)函数f(x)在[0,+∞)上连续,且满足0≤f(x)≤e
x
一1;
(Ⅱ)平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=e
x
一1分别交于点P
2
和P
1
;
(Ⅲ)由曲线y=f(x)与直线MN及x轴围成的平面图形的面积S恒等于线段P
1
P
2
之长.
求函数f(x)的表达式.
选项
答案
如图6.1,设动直线MN上各点的横坐标为x,由题设知 [*]|P
1
P
2
|=e
x
一1一f(x). [*] 于是,函数f(x)满足方程[*] 由f(x)及e
x
连续知变上限定积分[*]可导,从而f(x)可导.将上述方程两端对x求导并令x=0,得 f(x)=e
x
一f’(x),f(0)=0(与题设一致) 又因f(0)=0,于是f(x)是一阶线性方程y’+y=e
x
满足初始条件y(0)=0的特解.解之即得 [*]
解析
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考研数学三
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