2. 考研
  3. 设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2 +(b1x1+b2x2+b3x3)2 , 记 若α,β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12 +y22

设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2 +(b1x1+b2x2+b3x3)2 , 记 若α,β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12 +y22

admin2013-05-15  55
问题 设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2 +(b1x1+b2x2+b3x3)2 ,
记

若α,β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12 +y22
选项
答案记A=2ααT +ββT ,由于α,β正交，则有αTβ=βTα=0，又α,β为单位向量，则‖α‖=1，于是αTα=1，同理βTβ=1。 因为r(A)=r(2ααT +ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2＜3，所以，｜A｜=0，故0是A的特征值。 因为Aα=(2ααT +ββT)α=2α，所以2是A的特征值。 因为Aβ=(2ααT +ββT)β=β,所以1是A的特征值。 于是A的特征值为2,1,0。 因此f在正交变换下可化为标准行2y12+y22
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YlF4777K
0

考研数学三

相关试题推荐
随机试题
最新回复(0)