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设曲线y=f(x),其中y=f(x)是可导函数,且f(x)>0。已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线方程。
设曲线y=f(x),其中y=f(x)是可导函数,且f(x)>0。已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线方程。
admin
2017-01-21
49
问题
设曲线y=f(x),其中y=f(x)是可导函数,且f(x)>0。已知曲线y=f(x)与直线y=0,x=1及x=t(t>1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍,求该曲线方程。
选项
答案
旋转体的体积为V=∫
1
t
πf
2
(x)dx=π∫
1
t
f
2
(x)dx, 曲边梯形的面积为s=∫
1
t
f(x)dx,则由题可知 π∫
1
t
f
2
(x)dx=πt∫
1
t
f(x)dx,即∫
1
t
f
2
(x)dx=t∫
1
t
f(x)dx。 两边对f求导可得f
2
(t)=∫
1
t
f(x)dx+tf(t),即f
2
(t)一tf(t)=∫
1
t
f(x)dx,(*) 等式两端求导可得2f(t)f’(t)—f(t)一tf’(t)=f(t),化简可得(2f(t)—t)f ’(t)=2f(t),即 [*] 在(*)式中令t=1,则f
2
(1)一f(1)=0,因为已知f(x)>0,所以f(1)=1,代入t=[*] 所以该曲线方程为 [*]
解析
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考研数学三
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