设随机变量X与Y独立同分布,记U=X—Y,V=X+Y,则随机变量U与V

admin2020-03-24  61

问题 设随机变量X与Y独立同分布,记U=X—Y,V=X+Y,则随机变量U与V

选项 A、不独立.
B、 独立.
C、相关系数不为零.
D、相关系数为零.

答案D

解析 由于X与Y独立同分布,因此E(X)=E(Y),E(X2)=E(Y2),又
E(U)=E(X—Y)=E(X)一E(Y)=0,
E(UV)=E[(X—Y)(X+Y)]=E(X2一Y2)=E(X2)一E(Y2)=0,
Cov(U,V)=E(UV)一E(U)E(V)=0,
从而可知U与V的相关系数为零,故选(D).
由X与Y独立可知ρXY=0.如果X与Y都服从正态分布,则U=X—1,和V=X+Y也都服从正态分布,从而U与V相互独立,(A)不正确,如果X与Y服从同一0-1分布:
P{X=0}=P{Y=0}=,P{X=1}=P{Y=1}=
则 P{U=一1}=P{X=0,Y=1}=P{ X=0}P{Y=1}=
P{V=2}=P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=
P{U=一1,V=2}=P{}=0.
由于P{U=一1,V=2}≠P{U=-1}P{V=2},故U与V不相互独立,(B)不正确.
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