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  3. 求函数f(x)=(2一t)e-tdt的最值．

求函数f(x)=(2一t)e-tdt的最值．

admin2018-11-21  58
问题 求函数f(x)=(2一t)e-tdt的最值．
选项
答案由于f(x)是偶函数，我们只需考察x∈[0，+∞)．由变限积分求导公式得 f’(x)=2x(2一x2)[*]． 解f’(x)=0得x=0与x=[*]，于是 [*] 从而，f(x)的最大值是f([*])=∫02(2一t)e-tdt=一∫02(2一t)de-t=(t一2)e-t｜02一∫02e-tdt =2+e-t｜02=1+e-2． 由上述单调性分析，为求最小值，只需比较f(0)与[*]f(x)的大小．由于 [*]f(x)=∫0+∞(2一t)e-tdt=[(t一2)e-t+e-t]｜｜0+∞=1＞f(0)=0， 因此f(0)=0是最小值．
解析 f(x)的定义域是(一∞，+∞)，由于它是偶函数，故只需考虑x∈[0，+∞)．求f’(x)和驻点并考察驻点两侧的单调性．由于需要考察f(0)是否为最值，还需讨论极限值f(x)．
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考研数学一

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