2. 考研
  3. 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且A的秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，C表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解X=( )．

设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且A的秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，C表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解X=( )．

admin2016-11-03  49
问题 设α1，α2，α3是四元非齐次线性方程组AX=b的三个解向量，且A的秩(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，C表示任意常数，则线性方程组Ax=b的通解X=(    )．
选项 A、[1，2，3，4]T+C[1，1，1，1]T
B、[1，2，3，4]T+C[0，1，2，3]T
C、[1，2，3，4]T+C[2，3，4，5]T
D、[1，2，3，4]T+C[3，4，5，6]T
答案C
解析 根据非齐次线性方程组通解的结构，依次求出其导出组的基础解系及自身的一个特解．
方法一  因r(A)=3，n=4，故导出组Ax=0的一个基础解系只含n一r(A)=4—3=1个解．又根据非齐次线性方程组的两个解的差为其导出组的解，因而
2α1一(α2+α3)=(α1一α2)+(α1一α3)=[2，3，4，5]T≠0
为其导出组的一个解，因它不等于0，故[2，3，4，5]T为其导出组的基础解系．又显然α1为其自身的一个特解，故所求通解为
α1+C[2α1一(α2+α3)]=[1，2，3，4]T+C[2，3，4，5]T．仅(C)入选．
方法二  (A)中[1，1，1，1]T=α1一(α2+α3)，(B)中[0，1，2，3]T=α2+α3及(D)中[3，4，5，6]T=3α1一2(α2+α3)都不是AX=0的解(因解向量的系数的代数和不等于0)，因而乘以任意常数C后不能构成其导出组的基础解系，故选项(A)、(B)、(D)都不正确．仅(C)入选．
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考研数学一

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