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设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且f(0)=f(2)=0,f(1)=2.求证:至少存在一点ξ∈(0,2)使得f"(ξ)=一4.
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且f(0)=f(2)=0,f(1)=2.求证:至少存在一点ξ∈(0,2)使得f"(ξ)=一4.
admin
2019-06-06
48
问题
设f(x)在[0,2]上连续,在(0,2)内具有二阶导数,且f(0)=f(2)=0,f(1)=2.求证:至少存在一点ξ∈(0,2)使得f"(ξ)=一4.
选项
答案
按题设可把函数f(x)在x=1处展开为泰勒公式,得 [*] 这样一来,若f"(ξ
1
)=f"(ξ
2
),则f"(ξ)=f"(ξ
2
)=一4.从而这时ξ可取为ξ
1
或ξ
2
.若f"(ξ
1
)≠f"(ξ
2
),这时[*][f"(ξ
1
)+f"(ξ
2
)]=一4就是f"(ξ
1
)与f"(ξ
2
)的一个中间值,按导函数的中间值定理(又称为达布定理)即知存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,2)使得f"(ξ)=一4.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/YqV4777K
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考研数学二
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