设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex,确定常数a,b,c,并求该方程的通解.

admin2022-08-19  50

问题 设二阶常系数线性微分方程y″+ay′+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex,确定常数a,b,c,并求该方程的通解.

选项

答案将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得 (4+2a+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex,则有 [*] 原方程为y″-3y′+2y=-ex. 原方程的特征方程为λ2-3λ+2=0,特征值为λ1=1,λ2=2,则y″-3y′+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x,于是原方程的通解为 y=C1ex+C2e2x+e2x+(1+x)ex(C1,C2为任意常数).

解析
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