2. 考研
  3. 已知平面上三条直线的方程为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0． 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

已知平面上三条直线的方程为 l1：ax+2by+3c=0， l2：bx+2cy+3a=0， l3：cx+2ay+3b=0． 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．

admin2019-02-23  70
问题 已知平面上三条直线的方程为
l1：ax+2by+3c=0，
l2：bx+2cy+3a=0，
l3：cx+2ay+3b=0．
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0．
选项
答案l1，l2，l3交于一点即方程组 [*] 有唯一解，即系数矩阵的秩=增广矩阵的秩=2． [*] 则方程组系数矩阵的秩=r(A)，增广矩阵的秩=r(B)，于是l1，l2，l3交于一点<=>r(A)=r(B)=2． 必要性 由于r(B)=2，则｜B｜=0．计算出 ｜B｜=－(a+b+c)(a2+b2+c2－ab－ac－bc) =[*](a+b+c)[(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2]． a，b，c不会都相等(否则r(A)=1)，即(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2≠0．得a+b+c=0． 充分性 当a+b+c=0时，｜B｜=0，于是r(A)≤r(B)≤2．只用再证r(A)=2，就可得到 r(A)=r(B)=2． 用反证法．若r(A)＜2，则A的两个列向量线性相关．不妨设第2列是第1列的A倍，则b=λa，c=λb，a=λc．于是λ3a=a，λ3b=b，λ3c=c，由于a，b，c不能都为0，得λ3=1，即λ=1，于是a=b=c．再由a+b+c=0，得a=b=c=0，这与直线方程中未知数的系数不全为0矛盾．
解析
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考研数学二

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