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设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t—sint,y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)。 (Ⅰ)求证:由L的参数方程可以确定连续函数y=y(x),并求它的定义域; (Ⅱ)求曲线L与x轴所围图形绕),轴旋转一周所成旋转体的体积V。
设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t—sint,y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)。 (Ⅰ)求证:由L的参数方程可以确定连续函数y=y(x),并求它的定义域; (Ⅱ)求曲线L与x轴所围图形绕),轴旋转一周所成旋转体的体积V。
admin
2020-04-21
72
问题
设曲线L的参数方程为x=φ(t)=t—sint,y=ψ(t)=1一cost(0≤t≤2π)。
(Ⅰ)求证:由L的参数方程可以确定连续函数y=y(x),并求它的定义域;
(Ⅱ)求曲线L与x轴所围图形绕),轴旋转一周所成旋转体的体积V。
选项
答案
(1)由已知可得 φ’(t)=1一cost≥0,φ(0)=0,φ(2π)=2π, 则φ(t)在[0,2π]上单调增加,且值域为[φ(0),φ(2π)]=[0,2π]。 由x=φ(t)=t—sint在[0,2π]上连续可知其在[0,2π]上存在连续的反函数t=φ
—1
(x),且定义域为[0,2π]。所以y(x)=ψ[φ
—1
(x)]在[0,2π]上连续。 (Ⅱ)由旋转体的体积公式(绕y轴旋转),有 V=2π∫
0
2π
xydx=2π∫
0
2π
(t一sint)(1一cost)
2
dt=2π∫
0
2π
t(1一cost)
2
dt, 令t=2w—s,则 V=2π∫
0
2π
(2π—s)(1一coss)
2
ds=4π
2
∫
0
2π
(1一coss)
2
ds—V, [*] 上式中,∫
0
2π
sint(1一cost)
2
dt=∫
—π
π
sint(1一cost)
2
dt=0由周期函数与奇函数的积分性质直接得出。 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Z684777K
0
考研数学二
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