设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：｜f(x)｜≤f(x)dx｜＋｜f’(x)｜dx．

admin2019-11-25 35

问题设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：

｜f(x)｜≤

f(x)dx｜＋

｜f’(x)｜dx．

选项

答案因为f(x)在[a,b]上连续，所以｜f(x)｜在[a，b]上连续，令｜f(c)｜＝[*]｜f(x)｜．根据积分中值定理，[*]f(x)dx＝f(ξ)，其中ξ∈[a，b]．由积分基本定理，f(c)＝f(ξ)＋[*]f’(x)dx，取绝对值得｜f(c)｜≤｜f(ξ)｜＋｜[*]f’(x)dx｜≤｜f(ξ)｜＋[*]｜f’(x)｜dx，即 [*]≤｜f(x)｜≤｜[*]f(x)dx｜＋[*]｜f’(X)｜dx．

解析

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