设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系， β1=t1α1+t2α2， β2=t1α2+t2α3，…， βs=t1αs+t2α1，t1t2为实常数．试问t1t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基础解系．

admin2013-04-04 86

问题设α₁，α₂，…，α_s为线性方程组Ax=0的一个基础解系，
β₁=t₁α₁+t₂α₂， β₂=t₁α₂+t₂α₃，…， β_s=t₁α_s+t₂α₁，t₁t₂为实常数．
试问t₁t₂满足什么关系时，β₁，β₂，…，β_s，也为Ax=0的一个基础解系．

选项

答案由于β_i(i=1，2，…，s)是α₁，α₂，…，α_s的线性组合，又α₁，α₂，…，α_s是Ax=0的解，所以根据齐次方程组解的性质知β_i(i=1，2，…，s)均为Ax=0的解．从α₁，α₂，…，α_s是Ax=0的基础解系，知s=n-r(A)．下面来分析β₁，β₂，…，β_s线性无关的条件．设k₁β₁+k₂β₂+…+k_sβ_s=0，即 (t₁k₁+t₂k₂)α₁+(t₂k₁+t₁k₂)α₂+(t₂k₂+t₁k₃)α₃+…+(t₂k_s-1+t₁k_s)α_s=0，由于α₁，α₂，…，α_s线性无关，因此有 [*] (*) 因为系数行列式 [*]=t₁^s+(-1)^s+1t₂^s，所以当t₁^s+(-1)^s+1t₂^s≠0时，方程组(*)只有零解k₁=k₂=…=k_s=0．从而β₁，β₂，…，β_s线性无关．即当s为偶数t₁≠±t₂，s为奇数t₁≠-t₂时，β₁，β₂，…，β_s也为Ax=0的一个基础解系．

解析如果β₁，β₂，…，β_s是Ax=0的基础解系，则表明
(1)β₁，β₂，…，β_s是Ax=0的解；
(2)β₁，β₂，…，β_s线性无关；
(3)s=n-r(A)或β₁，β₂，…，β_s可表示Ax=0的任一个解．
那么要证β₁，β₂，…，β_s是基础解系，也应当与证这三点．
本题中(1)、(3)是容易证明的，关键是(2)．线性相关性的证明在考研中是常见的．

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考研数学一

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设α1，α2，…，αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系， β1=t1α1+t2α2， β2=t1α2+t2α3，…， βs=t1αs+t2α1，t1t2为实常数．试问t1t2满足什么关系时，β1，β2，…，βs，也为Ax=0的一个基础解系．

考研数学一

(2013年)设A，B，C均为n阶矩阵．若AB=C，且B可逆，则

函数f(x)=在(一∞，+∞)内

[2003年]已知y=是微分方程y′=的解，则φ的表达式为()．

设二次型f(x1，x2，x3)=a(x12，x22，x32)+2x1x2+2x2x3+2x1x3的正、负惯性指数分别为1，2，则

设函数f(x)在x＝0的某邻域内具有二阶连续导数。且f(0)≠0，f’(0)≠0，f"(0)≠0．证明：存在唯一的一组实数λ1，λ2，λ3，使得当h→0时，λ1f(h)＋λ2f(2h)＋λ3f(3h)－f(0)是比h2高阶的无穷小．

(2011年)设向量组α1=(1，0，1)T，α2=(0，1，1)T，α3=(1，3，5)T不能由向量组β1=(1，1，1)T，β2=(1，2，3)T，β3=(3，4，a)T线性表示，(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)将β1，β2，β3用α1，α2

(97年)设在闭区间[a，b]上f(x)＞0，f’(x)＜0．f"(x)＞0．记S1=∫abf(x)dx，S2=f(b)(b一a)，S3=[f(a)+f(b)](b一a)．则

设矩阵A=(α1，α2，α3)，其中α1，α2，α3是4维列向量，已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为x=k(1，-2，3)T+(1，2，-1)T，k为任意常数．试求α1，α2，α3的一个极大线性无关组，并把向量b用此极大线性无关组线性表示；

已知方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)是同解方程组，求参数a，b，c．

[*]本题是两个不同分布的综合问题，所求的事件Vn为n次独立重复实验中X的观测值不大于0．1的次数，故Vn服从二项分布b(n，p)，而这里p为X的观测值不大于0．1的概率，需要根据X服从的分布来计算．

mRNA剪接过程中被去除的部分叫做

某猪场2岁种公猪，精神沉郁，步态强拘，拱背，腰部触诊敏感，常做排尿姿势。尿检可见红细胞、白细胞、盐类结晶、肾上皮细胞，该病可能的诊断是()

A．桂枝茯苓丸B．香棱丸C．启宫丸D．开郁种玉汤E．开郁二陈汤

甲河是多国河流，乙河是国际河流。根据国际法相关规则，下列哪些选项是正确的?(2011—卷一—74，多)

根据《建筑工程施工质量验收统一标准》GB50300—2013，建筑工程质量验收的最小单元是()。

根据《中华人民共和国村民委员会组织法》，村务监督委员会成员的产生方式是()。

案例下面是某求助者的WAIS-RC测验结果：根据以上测验得分，可以判断该求助者()

Manythingsmakepeoplethinkartistsareweird.Buttheweirdestmaybethis:artists’onlyjobistoexploreemotions,andyet

Yearsaftertheeconomicrecessionwitnessed_________businessrecoverythroughoutthewholenation.

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设矩阵A=(α1，α2，α3)，其中α1，α2，α3是4维列向量，已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为x=k(1，-2，3)T+(1，2，-1)T，k为任意常数．试求α1，α2，α3的一个极大线性无关组，并把向量b用此极大线性无关组线性表示；

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[*]本题是两个不同分布的综合问题，所求的事件Vn为n次独立重复实验中X的观测值不大于0．1的次数，故Vn服从二项分布b(n，p)，而这里p为X的观测值不大于0．1的概率，需要根据X服从的分布来计算．

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A．桂枝茯苓丸B．香棱丸C．启宫丸D．开郁种玉汤E．开郁二陈汤

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