以下四个命题，正确的个数为( ) ①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx=0； ②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且存在，则∫-∞+∞f(x)dx必收敛，且∫-∞+∞f(x)dx= ③

admin2015-12-03 42

问题以下四个命题，正确的个数为( )
①设f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，则∫_-∞^+∞f(x)dx必收敛，且∫_-∞^+∞f(x)dx=0；
②设f(x)在(一∞，+∞)上连续，且

存在，则∫_-∞^+∞f(x)dx必收敛，且∫_-∞^+∞f(x)dx=

③若∫_-∞^+∞f(x)dx与∫_-∞^+∞g(x)dx都发散，则∫_-∞^+∞f(x)dx+g(x)]dx未必发散；
④若∫_-∞⁰f(x)dx与∫₀^+∞f(x)dx都发散，则∫_-∞^+∞f(x)dx未必发散。

选项 A、C₁y₁+(C₂一C₁)y₂+(C₁一C₂)y₃。
B、C₁y₁+(C₂一C₁)y₂+(1一C₂)y₃。
C、(C₁+C₂)y₁+(C₂一C₁)y₂+(C₁—C₂))y₃。
D、(C₁+C₂)y₁+(C₂一C₁)y₂+(1一C₂)y₃。

答案A

解析 ∫_-∞^+∞f(x，y)dx收敛

存在常数a，使∫_-∞^af(x)dx和∫_a^+∞f(x)dx都收敛，此时
∫_-∞^+∞f(x)dx=∫_-∞^af(x)dx+∫_a^+∞f(x)dx。
设f(x)=x，则f(x)是(一∞，+∞)上连续的奇函数，且

但是
∫_-∞⁰f(x)=∫_-∞⁰xdx=∞，∫₀^+∞f(x)dx=∫₀^+∞xdx=∞，
故∫_-∞^+∞f(x)dx发散，这表明命题①，②，④都不是真命题。
设f(x)=x，g(x)=一x，由上面讨论可知∫_-∞^+∞f(x)dx与∫_-∞^+∞g(x)dx都发散，但∫_-∞^+∞[f(x)+g(x)]dx收敛，这表明命题③是真命题。故选A。

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考研数学一

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