已知线性方程组 的通解是(2,1,0,3)T+k(1,-1,2,0)T,如令αi=(ai,bi,ci,di)T, i=1,2,…,5. 试问:(Ⅰ)α1能否由α2,α3,α4线性表出? (Ⅱ)α4能否由α1,α2,α3线性表出?并说明理由.

admin2016-10-20  44

问题 已知线性方程组

的通解是(2,1,0,3)T+k(1,-1,2,0)T,如令αi=(ai,bi,ci,di)T,  i=1,2,…,5.
试问:(Ⅰ)α1能否由α2,α3,α4线性表出?
    (Ⅱ)α4能否由α1,α2,α3线性表出?并说明理由.

选项

答案(Ⅰ)α1可由α2,α3,α4线性表出.因k(1,-1,2,0)T是相应齐次方程组Ax=0的通解,则(α1,α2,α3,α4)[*]=0,即α12+2α3=0,所以α12-2α3+0α4,即α1可由α1,α2,α3线性表出. (Ⅱ)α4不能用α1可由α1,α2,α3线性表出.如果α4能用α1可由α1,α2,α3线性表出,则r(α1可由α1,α2,α3)=r(α1可由α1,α2,α3,α4)=r(A). 由于Ax=0的基础解系仅一个向量,于是有r(A)=n-1=3.那么,α1,α2,α3线性无关,与α12-2α3相矛盾.

解析 从线性方程组的通解可看出相应齐次方程组的通解,亦可得到列向量组的秩及列向量αi之间的联系.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/ZST4777K
0

最新回复(0)