2. 考研
  3. 已知线性方程组 的通解是(2，1，0，3)T+k(1，-1，2，0)T，如令αi=(ai，bi，ci，di)T， i=1，2，…，5． 试问：(Ⅰ)α1能否由α2，α3，α4线性表出? (Ⅱ)α4能否由α1，α2，α3线性表出?并说明理由．

已知线性方程组 的通解是(2，1，0，3)T+k(1，-1，2，0)T，如令αi=(ai，bi，ci，di)T， i=1，2，…，5． 试问：(Ⅰ)α1能否由α2，α3，α4线性表出? (Ⅱ)α4能否由α1，α2，α3线性表出?并说明理由．

admin2016-10-20  56
问题 已知线性方程组

的通解是(2，1，0，3)T+k(1，-1，2，0)T，如令αi=(ai，bi，ci，di)T，  i=1，2，…，5．
试问：(Ⅰ)α1能否由α2，α3，α4线性表出?
    (Ⅱ)α4能否由α1，α2，α3线性表出?并说明理由．
选项
答案(Ⅰ)α1可由α2，α3，α4线性表出．因k(1，-1，2，0)T是相应齐次方程组Ax=0的通解，则(α1，α2，α3，α4)[*]=0，即α1-α2+2α3=0，所以α1=α2-2α3+0α4，即α1可由α1，α2，α3线性表出． (Ⅱ)α4不能用α1可由α1，α2，α3线性表出．如果α4能用α1可由α1，α2，α3线性表出，则r(α1可由α1，α2，α3)=r(α1可由α1，α2，α3，α4)=r(A)． 由于Ax=0的基础解系仅一个向量，于是有r(A)=n-1=3．那么，α1，α2，α3线性无关，与α1=α2-2α3相矛盾．
解析 从线性方程组的通解可看出相应齐次方程组的通解，亦可得到列向量组的秩及列向量αi之间的联系．
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考研数学三

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