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已知线性方程组 的通解是(2,1,0,3)T+k(1,-1,2,0)T,如令αi=(ai,bi,ci,di)T, i=1,2,…,5. 试问:(Ⅰ)α1能否由α2,α3,α4线性表出? (Ⅱ)α4能否由α1,α2,α3线性表出?并说明理由.
已知线性方程组 的通解是(2,1,0,3)T+k(1,-1,2,0)T,如令αi=(ai,bi,ci,di)T, i=1,2,…,5. 试问:(Ⅰ)α1能否由α2,α3,α4线性表出? (Ⅱ)α4能否由α1,α2,α3线性表出?并说明理由.
admin
2016-10-20
69
问题
已知线性方程组
的通解是(2,1,0,3)
T
+k(1,-1,2,0)
T
,如令α
i
=(a
i
,b
i
,c
i
,d
i
)
T
, i=1,2,…,5.
试问:(Ⅰ)α
1
能否由α
2
,α
3
,α
4
线性表出?
(Ⅱ)α
4
能否由α
1
,α
2
,α
3
线性表出?并说明理由.
选项
答案
(Ⅰ)α
1
可由α
2
,α
3
,α
4
线性表出.因k(1,-1,2,0)
T
是相应齐次方程组Ax=0的通解,则(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)[*]=0,即α
1
-α
2
+2α
3
=0,所以α
1
=α
2
-2α
3
+0α
4
,即α
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出. (Ⅱ)α
4
不能用α
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出.如果α
4
能用α
1
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,则r(α
1
可由α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
)=r(A). 由于Ax=0的基础解系仅一个向量,于是有r(A)=n-1=3.那么,α
1
,α
2
,α
3
线性无关,与α
1
=α
2
-2α
3
相矛盾.
解析
从线性方程组的通解可看出相应齐次方程组的通解,亦可得到列向量组的秩及列向量α
i
之间的联系.
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考研数学三
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