2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，有三个不同特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β＝α1＋α2＋α3． (1)证明：β不是A的特征向量； (2)β，Aβ，A2β线性无关； (3)若A3β＝Aβ，计算行列式｜2A＋3E｜．

设A为三阶矩阵，有三个不同特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β＝α1＋α2＋α3． (1)证明：β不是A的特征向量； (2)β，Aβ，A2β线性无关； (3)若A3β＝Aβ，计算行列式｜2A＋3E｜．

admin2016-01-25  148
问题 设A为三阶矩阵，有三个不同特征值λ1，λ2，λ3，对应的特征向量依次为α1，α2，α3，令β＝α1＋α2＋α3．
(1)证明：β不是A的特征向量；
(2)β，Aβ，A2β线性无关；
(3)若A3β＝Aβ，计算行列式｜2A＋3E｜．
选项
答案(1)证一 假设β为A的特征向量，则存在λ0，使Aβ＝λ0β，即 A(α1＋α2＋α3)＝λ0(α1＋α2＋α3)， 得 (λ1－λ0)α1＋(λ2－λ0)α2(λ3－λ0)α3＝0． 由α1，α2，α3线性无关知 λ1－λ0＝0， λ2－λ0＝0， λ3－λ0＝0， 从而有λ1＝λ2＝λ3，这与已知条件矛盾，因此β不是A的特征向量． 证二 因α1，α2，α3是属于不同特征值的特征向量，故α1＋α2＋α3必不是A的特征向量． (2) 设 k1β＋k2Aβ＋k3A2β＝0 则 (k1＋k2λ1＋k3[*])α3＝0． 由α1，α2，α3线性无关，得 [*] 因上方程组的系数矩阵的行列式为三阶范德蒙行列式，又因λ1≠λ2≠λ3，故该方程组只有零 解，故 k1＝k2＝k3＝0 所以β，Aβ，A2β线性无关． (3) 由题设有 A[β，Aβ，A2β]＝[Aβ，A2β，A3β]＝[Aβ，A2β，Aβ]＝[β，Aβ，A2β][*] 令P＝[β，Aβ，A2β]，则P可逆，且 [*] 于是P－1(2A＋3E)P＝2B＋3E， 从而 ｜2A+3E｜＝｜2B＋3E｜＝[*]＝15．
解析 (1)可用反证法证之；
(2)用线性无关定义证明；
(3)因β，Aβ，A2β线性无关，用矩阵表示法可求出A的相似矩阵B，由｜A｜＝｜B｜得
      ｜2B＋3E｜＝｜2A＋3E｜．
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考研数学三

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