λ取何值时，方程组无解?有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．

admin2014-01-26 96

问题 λ取何值时，方程组

无解?有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解．

选项

答案[详解1] 原方程组的系数行列式 [*]＝5λ²－λ－4＝(λ－1)(5λ＋4)，故当λ≠1且[*]时，方程组有唯一解．当λ＝1时，原方程组为 [*]，对其增广矩阵施行初等行变换： [*] 因此，当λ＝1时，原方程组有无穷多解，其通解为 [*] [或(x₁，x₂，x₃)^T＝(1，－1，0)^T＋k(0，1，1)^T(k为任意实数)] 当[*]时，原方程组的同解方程组为 [*] 对其增广矩阵施行初等行变换： [*] 可见当[*]时，原方程组无解． [详解2] 对原方程组的增广矩阵施行初等行变换： [*] 于是，当[*]时，原方程组无解．当λ≠1且[*]时，方程组有唯一解．当λ＝1时，原方程组有无穷多解，其通解为 [*] [或(x₁，x₂，x₃)^T＝(1，＝1，0)^T＋k(0，1，1)^T(k为任意实数)]

解析 [分析] 考虑到方程的个数与未知量的个数一致，可用克莱姆法则求解，当系数矩阵行列式｜A｜≠0时有唯一解；而当｜A｜＝0时。可确定参数λ，最后转化为不含参数的线性方程组求解．
[评注] 本题考查非齐次线性方程组的理论及求解方法，对n元非齐次线性方程组Ax＝b的结论为：记