λ取何值时,方程组无解?有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解.

admin2014-01-26  60

问题 λ取何值时,方程组无解?有唯一解或有无穷多解?并在有无穷多解时写出方程组的通解.

选项

答案[详解1] 原方程组的系数行列式 [*]=5λ2-λ-4=(λ-1)(5λ+4), 故当λ≠1且[*]时,方程组有唯一解. 当λ=1时,原方程组为 [*], 对其增广矩阵施行初等行变换: [*] 因此,当λ=1时,原方程组有无穷多解,其通解为 [*] [或(x1,x2,x3)T=(1,-1,0)T+k(0,1,1)T(k为任意实数)] 当[*]时,原方程组的同解方程组为 [*] 对其增广矩阵施行初等行变换: [*] 可见当[*]时,原方程组无解. [详解2] 对原方程组的增广矩阵施行初等行变换: [*] 于是,当[*]时,原方程组无解. 当λ≠1且[*]时,方程组有唯一解. 当λ=1时,原方程组有无穷多解,其通解为 [*] [或(x1,x2,x3)T=(1,=1,0)T+k(0,1,1)T(k为任意实数)]

解析 [分析]  考虑到方程的个数与未知量的个数一致,可用克莱姆法则求解,当系数矩阵行列式|A|≠0时有唯一解;而当|A|=0时。可确定参数λ,最后转化为不含参数的线性方程组求解.   
    [评注]  本题考查非齐次线性方程组的理论及求解方法,对n元非齐次线性方程组Ax=b的结论为:记,则当,无解;当时,有唯一解;当时,有无穷多解.若A为方阵,则可以考虑系数行列式|A|.当A不为方阵时,一般用初等行变换讨论.
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