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  3. 求A=的特征值和特征向量．

求A=的特征值和特征向量．

admin2021-11-09  100
问题 求A=的特征值和特征向量．
选项
答案(1)特征值的计算 可按常规方法计算特征值：求出A的特征多项式，求其根得特征值……．但本题可利用特征值的性质很容易求出特征值． r(A)=1，tr(A)=4．利用特征值的性质(命题5．4的推论)直接可得到A的特征值为0，0，0，4． (不用性质，也可这样计算：r(A)=1，即r(A－0E)=1，于是0是A的特征值，并且其重数k≥4－r(A)=3．即A的4个特征值中至少有3个为0．于是第4个特征值为tr(A)=4．) (2)求特征向量 属于0的特征向量是AX=0的非零解． [*] AX=0和x1+x2+x3+x4=0同解．得AX=0的一个基础解系η1=(1，－1，0，0)T，η2=(1，0，－1，0)T，η3=(1，0，0，－1)TT．属于0的特征向量的一般形式为 c1η1+c2η2+c3η3，c1，c2，c3不全为0． 属于4的特征向量是(A－4E)X=0的非零解． [*] 得(A－4E)X=0的同解方程组 [*] 得(A－4E)X=0的基础解系η=(1，1，1，1)T．属于4的特征向量的一般形式为 cη，c≠0．
解析
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考研数学二

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