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若n阶矩阵A=[α1,α2,…,αn—1,αn]的前n一1个列向量线性相关,后n—1个列向量线性无关,β=α1+α2+…+αn.证明: (1)方程组Ax=β必有无穷多解. (2)若(k1,k2,…,kn)T是Ax=β的任一解,则kn=1.
若n阶矩阵A=[α1,α2,…,αn—1,αn]的前n一1个列向量线性相关,后n—1个列向量线性无关,β=α1+α2+…+αn.证明: (1)方程组Ax=β必有无穷多解. (2)若(k1,k2,…,kn)T是Ax=β的任一解,则kn=1.
admin
2020-03-10
70
问题
若n阶矩阵A=[α
1
,α
2
,…,α
n—1
,α
n
]的前n一1个列向量线性相关,后n—1个列向量线性无关,β=α
1
+α
2
+…+α
n
.证明:
(1)方程组Ax=β必有无穷多解.
(2)若(k
1
,k
2
,…,k
n
)
T
是Ax=β的任一解,则k
n
=1.
选项
答案
(1)因为α
2
,α
3
,…,α
n
线性无关,所以α
2
,α
3
,…,α
n—1
线性无关,而α
1
,α
2
,…,α
n—1
,线性相关,因此α
1
可由α
2
,…,α
n—1
线性表出,r(A)=n一1. 又β=α
1
,α
2
,…,α
n
可由α
1
,α
2
,…,α
n
线性表出,增广矩阵[*]=r(A)=n一1,因此方程组Ax=β必有无穷多解. (2)因为α
1
,α
2
,…,α
n—1
线性相关,故存在不全为零的实数l
1
,l
2
,…,l
n—1
,使 l
1
α
1
+l
2
α
2
+…+l
n—1
α
n
=0,即 [*] 又因r(A)=n一1,故(l
1
,…,l
n—1
,0)
T
是Ax=0的基础解系. 又[*]=α
1
,α
2
,…,α
n
=β, 故(1,1,…,1)
T
是Ax=β的一个特解,于是Ax=β通解是 (1,1,…,1)
T
+k(l
1
,l
2
,…,l
n—1
,0). 因此,当(k
1
,…,k
n—1
)
T
是Ax=β的解时,必有kk
n
=1.
解析
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考研数学三
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