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设二次型f(χ,χ,χ)=XTAX,A的主对角线上元素之和为3,又AB+B=O,其中B= (1)求正交变换X=QY,将二次型化为标准形; (2)求矩阵A.
设二次型f(χ,χ,χ)=XTAX,A的主对角线上元素之和为3,又AB+B=O,其中B= (1)求正交变换X=QY,将二次型化为标准形; (2)求矩阵A.
admin
2020-03-16
99
问题
设二次型f(χ,χ,χ)=X
T
AX,A的主对角线上元素之和为3,又AB+B=O,其中B=
(1)求正交变换X=QY,将二次型化为标准形;
(2)求矩阵A.
选项
答案
(1)由AB+B=O得(E+A)B=O,从而r(E+A)+r(B)≤3, 因为r(B)=2,所以r(E+A)≤1,从而λ=-1为A的特征值且不低于2重, 显然λ=-1不可能为三重特征值,则A的特征值为λ
1
=λ
2
=-1,λ
3
=5. 由(E+A)B=O得B的列组为(E+A)X=0的解, 故α
1
=[*],α
2
=[*]为λ
1
=λ
2
=-1对应的线性无关解. 令α
3
=[*]为λ
3
=5对应的特征向量, 因为A
T
=A,所以[*]即[*]解得α
3
=[*], 令[*] 规范化得[*] 令Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
),则f=X
T
AX[*]-y
1
2
-y
2
2
+5y
3
2
. (2)由Q
T
AQ=[*]得 [*]
解析
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考研数学二
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