2. 考研
  3. 设二次型f(χ，χ，χ)＝XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中B＝ (1)求正交变换X＝QY，将二次型化为标准形； (2)求矩阵A．

设二次型f(χ，χ，χ)＝XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中B＝ (1)求正交变换X＝QY，将二次型化为标准形； (2)求矩阵A．

admin2020-03-16  139
问题 设二次型f(χ，χ，χ)＝XTAX，A的主对角线上元素之和为3，又AB＋B＝O，其中B＝
    (1)求正交变换X＝QY，将二次型化为标准形；
    (2)求矩阵A．
选项
答案(1)由AB＋B＝O得(E＋A)B＝O，从而r(E＋A)＋r(B)≤3， 因为r(B)＝2，所以r(E＋A)≤1，从而λ＝－1为A的特征值且不低于2重， 显然λ＝－1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ1＝λ2＝－1，λ3＝5． 由(E＋A)B＝O得B的列组为(E＋A)X＝0的解， 故α1＝[*]，α2＝[*]为λ1＝λ2＝－1对应的线性无关解． 令α3＝[*]为λ3＝5对应的特征向量， 因为AT＝A，所以[*]即[*]解得α3＝[*]， 令[*] 规范化得[*] 令Q＝(γ1，γ2，γ3)，则f＝XTAX[*]－y12－y22＋5y32． (2)由QTAQ＝[*]得 [*]
解析
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考研数学二

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