若n×r矩阵A的秩为r，其r个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系，B为r阶可逆矩阵，证明：AB的r个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系．

admin2020-09-25 89

问题若n×r矩阵A的秩为r，其r个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系，B为r阶可逆矩阵，证明：AB的r个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系．

选项

答案设n×r矩阵A的列向量记为A₁，A₂，…，A_r；AB的列向量记为α₁，α₂，…，α_r，则 (α₁，α₂，…，α_r)=(A₁，A₂，…，A_r)B，从而可知α₁，α₂，…,α_r可由A₁，A₂，…，A_r线性表示，若A₁，A₂，…，A_r为齐次线性方程Cx=0的解，则α₁，α₂，…，α_r也是Cx=0的解．下证α₁，α₂，…，α_r线性无关．因为B是可逆矩阵，所以(A₁，A₂，…，A_r)=(α₁，α₂，…，α_r)B^-1，从而可知A₁，A₂，…，A_r可由α₁，α₂，…，α_r线性表示，于是α₁，α₂，…，α_r与A₁，A₂，…，A_r等价．又由于A₁，A₂，…，A_r为Cx=0的基础解系，则A₁，A₂，…，A_r线性无关，故向量组α₁，α₂，…，α_r的秩等于向量组A₁，A₂，…，A_r的秩即为r，于是α₁，α₂，…，α_r也线性无关．所以α₁，α₂，…，α_r也是Cx=0的基础解系．

解析

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考研数学三

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若n×r矩阵A的秩为r，其r个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系，B为r阶可逆矩阵，证明：AB的r个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系．

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设A=，A是A的伴随矩阵，则(A)-1=________.

如果β=（1，2，t）T可以由α1=（2，l，1）T，α2=（—1，2，7）T，α3=（1，—1，—4）T线性表示，则t的值是________。

设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a，a)，(3，2，1，a)，(4，3，2，1)线性相关，且a≠1，则a=___________.

微分方程y＇=1+x+y2+xy2的通解为_________。

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已知，A是A的伴随矩阵，那么A的特征值是________。

已知α1，α2，α3线性无关，α1+α2，aα2—α3，α1—α2+α3线性相关，则a=___________．

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(2012年)已知函数f(x)满足方程f’’(x)+f’(x)一2f(x)=0及f’’(x)+f(x)=2ex．(Ⅰ)求f(x)的表达式；(Ⅱ)求曲线y=f(x2)∫0x(一t2)出的拐点．

(97年)设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵．(1)计算并化简PQ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

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求过点(1，2，1)与直线l1：相交且垂直于直线l2：的直线方程。

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