若n×r矩阵A的秩为r，其r个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系，B为r阶可逆矩阵，证明：AB的r个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系．

admin2020-09-25 136

问题若n×r矩阵A的秩为r，其r个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系，B为r阶可逆矩阵，证明：AB的r个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系．

选项

答案设n×r矩阵A的列向量记为A₁，A₂，…，A_r；AB的列向量记为α₁，α₂，…，α_r，则 (α₁，α₂，…，α_r)=(A₁，A₂，…，A_r)B，从而可知α₁，α₂，…,α_r可由A₁，A₂，…，A_r线性表示，若A₁，A₂，…，A_r为齐次线性方程Cx=0的解，则α₁，α₂，…，α_r也是Cx=0的解．下证α₁，α₂，…，α_r线性无关．因为B是可逆矩阵，所以(A₁，A₂，…，A_r)=(α₁，α₂，…，α_r)B^-1，从而可知A₁，A₂，…，A_r可由α₁，α₂，…，α_r线性表示，于是α₁，α₂，…，α_r与A₁，A₂，…，A_r等价．又由于A₁，A₂，…，A_r为Cx=0的基础解系，则A₁，A₂，…，A_r线性无关，故向量组α₁，α₂，…，α_r的秩等于向量组A₁，A₂，…，A_r的秩即为r，于是α₁，α₂，…，α_r也线性无关．所以α₁，α₂，…，α_r也是Cx=0的基础解系．

解析

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考研数学三

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若n×r矩阵A的秩为r，其r个列向量为某一齐次线性方程组的一个基础解系，B为r阶可逆矩阵，证明：AB的r个列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系．

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