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  3. 求： (1)直线L：在平面π：x一y+2z一1=0上的投影直线L0的方程； (2)L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．

求： (1)直线L：在平面π：x一y+2z一1=0上的投影直线L0的方程； (2)L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．

admin2020-04-02  27
问题 求：
(1)直线L：在平面π：x一y+2z一1=0上的投影直线L0的方程；
(2)L0绕y轴旋转一周所成曲面的方程．
选项
答案(1)求通过直线L且垂直于平面π的平面π*的方程有三种方法． 方法一 (点法式)直线L的方向向量s=(1，1，－1)，平面π的法向量n=(1，－1，2)，设平面π*的法向量为π*，则π*⊥s且，π*⊥n，于是 [*] 由平面π*通过直线L，可知直线L上的点P(1，0，1)在平面π*上，于是π*的方程为 1·(x－1)－3(y－0)－2(z－1)=0，即x－3y－2z+1=0． 方法二 (一般式)设π*的方程为A(x－1)+By+C(z－1)=0，则由条件知 A－B+2C=0，A+B—C=0 由此解得A：B：C=1：3：2，于是π*的方程为x－3y－2z+1=0． 方法三 (平面束)由于L的方程可写为 [*] 所以过L的平面方程可设为(x－y－1)+λ(y+z－1)=0，即 x+(λ－1)y+λz－(1+λ)=0 由L与π*垂直，可得1－(λ－1)+2λ=0，于是．λ=－2，则π*的方程为 x－3y－2z+1=0 因此，所求投影直线的方程为 [*] (2)将L0写成参数方程[*]设L0绕y轴旋转一周所成的曲面为S，由点P(x0，y0，z0)∈S，有[*]即L0绕y轴旋转一周所成的曲面方程为[*]
解析
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考研数学一

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