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已知λ1,λ2是矩阵A两个不同的特征值,α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt分别是矩阵A属于特征值λ1和λ2的线性无关的特征向量.证明:α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt线性无关.
已知λ1,λ2是矩阵A两个不同的特征值,α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βt分别是矩阵A属于特征值λ1和λ2的线性无关的特征向量.证明:α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt线性无关.
admin
2018-06-12
35
问题
已知λ
1
,λ
2
是矩阵A两个不同的特征值,α
1
,α
2
,…,α
s
和β
1
,β
2
,…,β
t
分别是矩阵A属于特征值λ
1
和λ
2
的线性无关的特征向量.证明:α
1
,α
2
,…,α
s
,β
1
,β
2
,…,β
t
线性无关.
选项
答案
按特征值定义,有 Aα
i
=λ
1
α
i
(i=1,2,…,s),Aβ
j
=λβ
j
(j=1,2,…,t). 如果k
1
α
2
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
+l
1
β
1
+l
2
β
2
+…+l
t
β
t
=0, (1) 用A左乘(1)式两端,有 λ
1
k
1
α
1
+λ
1
k
2
α
2
+…+λ
1
k
s
α
s
+λ
2
l
1
β
1
+λ
2
l
2
β
2
+…+λ
2
l
t
β
t
=0. (2) 由(1)×λ
i
-(2)得 (λ
1
-λ
2
)(l
1
β
1
+l
2
β
2
+…+l
t
β
t
)=0. 因为λ
1
≠λ
2
,故 l
1
β
1
+l
2
β
2
+…+l
t
β
t
=0. 由于β
1
,β
2
,…,β
t
线性无关,故必有l
1
=0,l
2
=0,…,l
t
=0. 同理可证k
1
=0,k
2
=0,…,k
s
=0. 从而α
1
,α
2
,…,α
s
,β
1
,β
2
,…,β
t
线性无关.
解析
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0
考研数学一
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