设A是n阶矩阵，如对任何n维向量b方程组Ax=b总有解，证明方程组A*x=b必有唯一解．

admin2016-10-20 67

问题设A是n阶矩阵，如对任何n维向量b方程组Ax=b总有解，证明方程组A^*x=b必有唯一解．

选项

答案记A=(α₁，α₂，…，α_n)，因为对任一个n维向量b，方程组x₁α₁+x₂α₂+…+x_nα_n=b总有解，那么α₁，α₂，…，α_n可以表示任一个n维向量．因此，α₁，α₂，…，α_n可以表示n维单位向量ε₁=(1，0，0，…，0)^T，ε₂=(0，1，0，…，0)^T，…，ε_n=(0，0，0，…，1)^T．从而向量组α₁，α₂，…，α_n与ε₁，ε₂，…，ε_n等价，所以秩r(α₁，α₂，…，α_n)=n，即有｜A｜≠0．于是｜A^*｜=｜A｜^n-1≠0．由克莱姆法则可知A^*x=b有唯一解．

解析

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