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设向量β可由向量组a1,a2,…,am线性表示,但不能由向量组(Ⅰ)a1,a2,…,am.线性表示,记向量组(Ⅱ)a1,a2,…,am-1,β,则( ).
设向量β可由向量组a1,a2,…,am线性表示,但不能由向量组(Ⅰ)a1,a2,…,am.线性表示,记向量组(Ⅱ)a1,a2,…,am-1,β,则( ).
admin
2020-05-16
46
问题
设向量β可由向量组a
1
,a
2
,…,a
m
线性表示,但不能由向量组(Ⅰ)a
1
,a
2
,…,a
m
.线性表示,记向量组(Ⅱ)a
1
,a
2
,…,a
m-1
,β,则( ).
选项
A、a
m
不能由(Ⅰ)线性表示,也不能由(Ⅱ)线性表示
B、a
m
不能由(Ⅰ)线性表示,但可能由(Ⅱ)线性表示
C、a
m
可由(Ⅰ)线性表示,也可由(Ⅱ)线性表示
D、a
m
可由(Ⅰ)线性表示,但:不可由(Ⅱ)线性表示
答案
B
解析
由题设,β可由向量组a
1
,a
2
…,a
m
线性表示,则存在一组数后k
1
,k
2
…,k
m
,使β=k
1
a
1
+k
2
2
+…+k
m
a
m
,但是β不能由a
1
,a
2
…,a
m-1
线性表示,从而k
m
≠0,因此a
m
=1/k
m
(β-k
1
a
1
-k
2
a
2
…k
m-1
a
m-1
),即a
m
可由(Ⅱ)a
1
,a
2
…,a
m-1
,β,线性表示,所以(A)、(D)不正确.若a
m
能由向量组(Ⅰ)线性表示,则存在另一组数λ
1
,λ
2
…,λ
m-1
,使得a
m
=λ
1
a
1
+λ
2
a
2
+…+λ
m-1
a
m-1
],
从而β=k
1
a
1
+…+k
m-1
a
m-1
+k
m
[λ
1
a
1
+λ
2
a
2
+…+λ
m-1
a
m-1
]
=(k
1
+k
m
λ
1
)a
1
+(k
2
+k
m
λ
2
)a
2
+…+(k
m-1
+k
m
λ
m-1
)a
m-1
,
这与前述已知矛盾,所以a
m
不能由向量组(Ⅰ)线性表示,综上,选(B).
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考研数学三
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