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设A为3阶实对称矩阵,A2+A-2E=0且|A|=-2,又存在α=,使得A*α=α,求矩阵A.
设A为3阶实对称矩阵,A2+A-2E=0且|A|=-2,又存在α=,使得A*α=α,求矩阵A.
admin
2021-03-16
45
问题
设A为3阶实对称矩阵,A
2
+A-2E=0且|A|=-2,又存在α=
,使得A
*
α=α,求矩阵A.
选项
答案
令AX=λX(X≠0), 由(A
2
+A-2E)X=(λ
2
+λ-2)X=0得λ
2
+λ-2=0,则λ=1或λ=-2, 因为|A|=-2,所以A的特征值为λ
1
=λ
2
=1,λ
3
=-2, A
*
的特征值为[*] 因为A
*
α=α,所以α为A
*
的属于特征值1的特征向量,所以α为矩阵A的属于特征值 λ
3
=-2的特征向量,令α
3
=α; 设X=[*]为矩阵A的属于特征值λ
1
=λ
2
=1的特征向量, 因为A
T
=A,所以α
T
X=0,即-x
1
-x
2
+x
3
=0,得 矩阵A的属于特征值λ
1
=λ
2
=1的线性无关的特征向量为α
1
=[*] 令P=[*],由P
-1
AP=[*] 得 A=P[*]
解析
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