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设f(x)为[一a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x一t|f(t)dt. (Ⅰ)证明:F’(x)单调增加. (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
设f(x)为[一a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫—aa|x一t|f(t)dt. (Ⅰ)证明:F’(x)单调增加. (Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值? (Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时,求函数f(x).
admin
2017-02-28
49
问题
设f(x)为[一a,a]上的连续的偶函数且f(x)>0,令F(x)=∫
—a
a
|x一t|f(t)dt.
(Ⅰ)证明:F’(x)单调增加.
(Ⅱ)当x取何值时,F(x)取最小值?
(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a
2
一1时,求函数f(x).
选项
答案
(Ⅰ)F(x)=∫
—a
a
|x—t|f(t)dt=∫
—a
x
(x一t)f(t)dt+∫
x
a
(t一x)f(t)dt =x∫
—a
x
f(t)dt一∫
—a
x
tf(t)dt+∫
x
a
tf(t)dt一x∫
x
a
f(t)dt =x∫
—a
x
f(t)dt一∫
—a
x
tf(t)dt一∫
a
x
tf(t)dt+x∫
a
x
f(t)dt, F’(x)=∫
—a
x
f(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(t)+∫
a
x
f(t)dt+xf(x) =∫
—a
x
f(t)dt—∫
x
a
f(t)dt, 因为F"(x)=2f(x)>0,所以F’(x)为单调增加的函数. (Ⅱ)因为F’(0)=∫
—a
0
f(x)dx一∫
0
a
f(x)dx且f(x)为偶函数,所以F’(0)=0,又因为F"(0)>0, (Ⅱ)因为F’(0)=∫
—a
0
f(x)dx一∫
0
a
f(x)dx且f(x)为偶函数,所以F’(0)=0,又因为F’(0)>0, 所以x=0为F(x)的唯一极小点,也为最小点. 故最小值为F(0)=∫
—a
a
|t|f(t)dt=2∫
0
a
tf(t)dt. (Ⅲ)由2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
一1两边求导得 2af(a)=f’(a)一2a, 于是f’(x)一2xf(x)=2x, 解得f(x)=[∫2xe
∫—2xdx
dx+C]e
—∫—2xdx
=[*]—1, 在2∫
0
a
tf(t)dt=f(a)一a
2
—1中令a=0得f(0)=1,则C=2,于是f(x)=[*]一1.
解析
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0
考研数学一
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