求解下列方程： (Ⅰ)求方程xy"=y’lny’的通解； (Ⅱ)求yy"=2(y’2一y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．

admin2018-11-21 55

问题求解下列方程：
(Ⅰ)求方程xy"=y’lny’的通解；
(Ⅱ)求yy"=2(y’²一y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．

选项

答案(Ⅰ)此方程不显含y．令p=y’，则原方程化为xp’=plnp．当p≠1时，可改写为[*]，其通解为 ln｜lnp｜=ln｜x｜+C，即lnp=C₁x，即y’=[*]．这样，原方程的通解即为y=[*]+C₂，其中C₁≠0，C₂为任意常数．当p=1时，也可以得到一族解y=x+C₂． (Ⅱ)此方程不显含x．令p=y’，且以y为自变量，[*]=2(p²一p)．当p≠0时，可改写为[*]，解为p一1=C₁y²．再利用P=y’，以及初始条件，可推出常数C₁=1．从而上述方程为变量可分离的方程 y’=1+y² → 其通解为y=tan(x+C₂)．再一次利用初始条件y(0)=1，即得C₂=[*]．所以满足初始条件的特解为y=tan(x+[*])．

解析

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考研数学一

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