2. 考研
  3. 设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ωt={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，Dt={(x，y)｜x2+y2≤t2}。 证明当t＞0时，。

设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ωt={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，Dt={(x，y)｜x2+y2≤t2}。 证明当t＞0时，。

admin2018-12-29  46
问题 设函数f(x)连续且恒大于零，

其中Ωt={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，Dt={(x，y)｜x2+y2≤t2}。
证明当t＞0时，。
选项
答案由于 [*] 要证明t＞0时F(t)＞[*]，只需证明t＞0时，[*]，即 ∫0tf(r2)r2dr∫0tf(r2)dr—[∫0tf(r2)rdr]2＞0。 令 g(t)=∫0tf(r2)r2dr∫0tf(r2)dr—[∫0tf(r2)rdr]2， 则 g′(t)=f(t2)∫0tf(r2)(t—r)2dr＞0， 故g(t)在(0，+∞)内单调增加。 因为g(t)在t=0处连续，所以当t＞0时，有g(t)＞g(0)=0。 因此，当t＞0时，F(t)＞[*]
解析
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考研数学一

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