已知线性方程组有非零解，而且矩阵是正定矩阵．求当xTx=2时，XTAX的最大值，其中X=(x1，x2，x3)T为3维实向量．

admin2018-07-27 67

问题已知线性方程组

有非零解，而且矩阵

是正定矩阵．
求当x^Tx=2时，X^TAX的最大值，其中X=(x₁，x₂，x₃)^T为3维实向量．

选项

答案A的最大特征值为10，设对应的单位特征向量为髻(即Aξ=10ξ，且ξ^Tξ=1)．对二次型X^TAX，存在正交变换X=PY化其为标准形：X^TAX=λ₁y₁²+λ₂y₂²+λ₃y₃²≤10(y₁²+y₂²+y₃²)，当X^TX=Y^TY=y₁²+y₂²+y₃²=2时，有X^TAX≤10×3=20，又X₀=[*]ξ满足X₀^TX₀=2，则X₀^TAX₀=([*]ξ)=2ξ^T(Aξ)=2ξ^T(10ξ)=20(ξ^Tξ)=20，综上可知[*]X^TAX=20．

解析

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