A＝，正交矩阵Q使得QTAQ是对角矩阵，并且Q的第1列为(1，2，1)T．求a和Q．

admin2016-10-21 84

问题 A＝

，正交矩阵Q使得Q^TAQ是对角矩阵，并且Q的第1列为

(1，2，1)^T．求a和Q．

选项

答案Q^-1AQ＝Q^TAQ是对角矩阵，说明Q的列向量都是A的特征向量，于是(1，2，1)^T也是A的特征向量． [*] (1，2，1)^T和(2，5＋a，4＋2a)^T相关，得a＝－1，并且(1，2，1)^T的特征值为2． [*] A的特征值为2，5，－4．下面来求它们的单位特征向量．α₁＝[*] (1，2，1)^T属于2的单位特征向量． A－5E＝[*] 则(1，－1，1)^T是属于5的特征向量，单位化得α₂＝[*](1，－1，1)^T． A＋4E＝[*] 则(1，0，－1)^T是属于－4的特征向量，单位化得α₃＝[*](1，0，－1)^T．则Q＝(α₁，α₂，α₃)．

解析

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