2. 考研
  3. 设A为n阶方阵，且n≥2。证明｜A*｜=｜(一A)*｜。

设A为n阶方阵，且n≥2。证明｜A*｜=｜(一A)*｜。

admin2018-12-19  47
问题 设A为n阶方阵，且n≥2。证明｜A*｜=｜(一A)*｜。
选项
答案方法一：设A=(aij)，｜A｜中元素aij的代数余子式为Aij，则｜一A｜中一aij的代数余子式Bij=(一1)n—1Aij。于是，(一A)*=(一1)n—1A*。所以 ｜(一A)*｜=｜(一1)n—1A*｜=[(一1)n—1]n｜A*｜=｜A*｜。 方法二：若A不可逆，则(一A)和A*也不可逆，从而(一A)*也不可逆，故｜A*｜=｜(一A)*｜=0。 若A可逆，则由AA*=｜A｜E可得(一A)(一A)*=｜—A｜E，于是 (一A)*=｜—A｜(一A)—1=(一1)n｜A｜·(一1)A—1=(一1)n—1A*， 故有 ｜(一A)*｜=｜(一1)n—1A*｜=(一1)(n—1)n｜A*｜=｜A*｜。
解析
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考研数学二

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