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考研
构造正交矩阵Q,使得QTAQ是对角矩阵
构造正交矩阵Q,使得QTAQ是对角矩阵
admin
2019-05-11
71
问题
构造正交矩阵Q,使得Q
T
AQ是对角矩阵
选项
答案
(1)先求特征值 [*] A的特征值为0,2,6. 再求单位正交特征向量组 属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解, [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1,1,-1)
T
,单位化得 [*] 属于2的特征向量是齐次方程组(A-2E)X=0的非零解, [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1,-1,0)
T
,单位化得 [*] 属于6的特征向量是齐次方程组(A-6E)X=0的非零解, [*] 得AX=0的同解方程组 [*] (2)先求特征值 [*] A的特征值为1,1,10. 再求单位正交特征向量组 属于1的特征向量是齐次方程组(A-E)X=0的非零解, [*] 得(A—E)X=0的同解方程组x
1
+2x
2
-2x
4
=0, 显然α
1
=(0,1,1)
T
是一个解.第2个解取为α
2
=(c,-1,1)
T
(保证了与α
1
的正交性!),代入方程求出c=4,即α
2
=(4,-1,1)
T
. 令[*] 再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A-10E)X=0的非零解(1,2,-2)
T
,令 γ
3
=α
3
/‖α
3
‖=(1,2,-2)
T
/3. 作正交矩阵Q=(γ
1
,γ
2
,γ
3
). 则 [*]
解析
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考研数学二
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