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  3. 构造正交矩阵Q，使得QTAQ是对角矩阵

构造正交矩阵Q，使得QTAQ是对角矩阵

admin2019-05-11  53
问题 构造正交矩阵Q，使得QTAQ是对角矩阵
选项
答案(1)先求特征值 [*] A的特征值为0，2，6． 再求单位正交特征向量组 属于0的特征向量是齐次方程组AX=0的非零解， [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1，1，－1)T，单位化得 [*] 属于2的特征向量是齐次方程组(A－2E)X=0的非零解， [*] 得AX=0的同解方程组 [*] 求得一个非零解为(1，－1，0)T，单位化得 [*] 属于6的特征向量是齐次方程组(A－6E)X=0的非零解， [*] 得AX=0的同解方程组 [*] (2)先求特征值 [*] A的特征值为1，1，10． 再求单位正交特征向量组 属于1的特征向量是齐次方程组(A－E)X=0的非零解， [*] 得(A—E)X=0的同解方程组x1+2x2－2x4=0， 显然α1=(0，1，1)T是一个解．第2个解取为α2=(c，－1，1)T(保证了与α1的正交性！)，代入方程求出c=4，即α2=(4，－1，1)T． 令[*] 再求出属于10的特征向量是齐次方程组(A－10E)X=0的非零解(1，2，－2)T，令 γ3=α3／‖α3‖=(1，2，－2)T／3． 作正交矩阵Q=(γ1，γ2，γ3)． 则 [*]
解析
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考研数学二

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