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设随机变量U在[-2,2]上服从均匀分布,记随机变量 求:(1)Cov(X,Y),并判定X与Y的独立性; (2)D[X(1+Y)].
设随机变量U在[-2,2]上服从均匀分布,记随机变量 求:(1)Cov(X,Y),并判定X与Y的独立性; (2)D[X(1+Y)].
admin
2016-09-19
103
问题
设随机变量U在[-2,2]上服从均匀分布,记随机变量
求:(1)Cov(X,Y),并判定X与Y的独立性;
(2)D[X(1+Y)].
选项
答案
(1)X,Y的全部可能取值都为-1,1,且 P{X=-1,Y=-1}=P{U≤-1,U≤1}=P{U≤-1}=[*], P{X=-1,Y=1}=P{U≤-1,U>1}=0, P{X=1,Y=-1}=P{U>-1,U≤1}=P{-1<U≤1}=[*], P{X=1,Y=1}=P{U>-1,U>1}=P{U>1}=[*], 所以(X,Y)的分布律及边缘分布律为 [*] 从而E(XY)=(-1)×(-1)×[*]+(-1)×1×0+1×(-1)×[*]=0. EX=(-1)×[*] 故Cov(X,Y)=E(XY)-EX.EY=0-[*]≠0.所以X与Y不独立. (2)D[X(1+Y)]=D(X+XY)=DX+D(XY)+2Cov(X,XY) =DX+D(XY)+2E(X
2
Y)-2EXE(XY). ① 其中EX=[*]. ② E(X
2
)=(-1)
2
×[*]. ③ 此外,由于XY及X
2
Y的分布律分别为 [*] 将②~⑥代入①得 D[X(1+Y)]=[*]
解析
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考研数学三
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