求连续函数f(x)，使它满足f(x)+2∫0xf(t)dt=x2．

admin2013-09-15 103

问题求连续函数f(x)，使它满足f(x)+2∫₀^xf(t)dt=x²．

选项

答案方程f(x)+2∫₀²f(t)dt=x²两边对x求导得f^’(x)+2f(x)=2x，令x=0，由原方程得f(0)=0．于是，原问题就转化为求微分方程f^’(x)+2f(x)=2x满足初始条件f(0)=0的特解．由一阶线性微分方程的通解公式，得 f(x)=e^-∫2dx(∫2x*e^∫2dxdx+C)=e^-2x(∫2xe^2xdx+C)=Ce^-2x+x- 1/2．代入初始条件f(0)=0，得C=1/2，从而f(x)=[*]

解析

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