设函数f(x)是以T为周期的连续函数. (Ⅰ)证明:∫0x(t)dt可以表示成一个以T为周期的连续函数与kx之和,并求常数k; (Ⅱ)计算∫0xf(t)dt.

admin2022-04-27  43

问题 设函数f(x)是以T为周期的连续函数.
(Ⅰ)证明:∫0x(t)dt可以表示成一个以T为周期的连续函数与kx之和,并求常数k;
(Ⅱ)计算0xf(t)dt.

选项

答案(Ⅰ)令F(x)=∫0xf(t)dt-kx,只要证明能取到常数k,使F(x)以T为周期即可. F(x+T)-F(x)=∫0x+Tf(t)dt-k(x+T)-∫0xf(t)dt+kx =∫Tx+Tf(t)dt-kT=∫0Tf(t)dt-kT, 取k=[*]∫0Tf(t)dt,即可使F(x)以T为周期. (Ⅱ)由(Ⅰ),有 ∫0xf(t)dt=F(x)+kx,k=[*]∫0Tf(t)dt. 因为F(x)以T为周期,且连续,所以F(x)有界,[*],故 [*]

解析
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