已知y1=xex+e2x和y2=xex+e－x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )

admin2016-09-13 31

问题已知y₁=xe^x+e^2x和y₂=xe^x+e^－x是二阶常系数非齐次线性微分方程的两个解，则此方程为 ( )

选项 A、yˊˊ－2yˊ+y=e^2x
B、yˊˊ－yˊ－2y=xe^x
C、yˊˊ－yˊ－2y=e^x－2xe^x
D、yˊˊ－yˊ=e^2x

答案C

解析非齐次线性方程两解之差必为对应齐次方程之解，由y₁－y₂=e^2x－e^－x及解的结构定理知对应齐次方程通解为y=C₁e^2x+C₂e^－x，故特征根r₁=2，r₂=－1．对应齐次线性方程为
yˊˊ－yˊ－2y=0．
再由特解y^*=xe^x知非齐次项
f(x)=y^*ˊˊ－y^*ˊ－2y^*=e^x－2xe^x，
于是所求方程为
yˊˊ－yˊ－2y=e^x－2xe^x．

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