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设a为n维列向量,且A=E-ααT. (Ⅰ)证明:A2=A的充分必要条件是α为单位向量; (Ⅱ)若α为单位向量,求齐次线性方程组AX=0的通解; (Ⅲ)若α为单位向量,求矩阵A的特征值,判断A是否可相似对角化.
设a为n维列向量,且A=E-ααT. (Ⅰ)证明:A2=A的充分必要条件是α为单位向量; (Ⅱ)若α为单位向量,求齐次线性方程组AX=0的通解; (Ⅲ)若α为单位向量,求矩阵A的特征值,判断A是否可相似对角化.
admin
2022-12-09
28
问题
设a为n维列向量,且A=E-αα
T
.
(Ⅰ)证明:A
2
=A的充分必要条件是α为单位向量;
(Ⅱ)若α为单位向量,求齐次线性方程组AX=0的通解;
(Ⅲ)若α为单位向量,求矩阵A的特征值,判断A是否可相似对角化.
选项
答案
(Ⅰ)A
2
=(E-αα
T
)(E-αα
T
)=E-2αα
T
+αα
T
·αα
T
, 令α
T
·α=k,则A
2
=E-(2-k)αα
T
, 故A
2
=A的充分必要条件是k=1,即α为单位向量. (Ⅱ)由α为单位向量得A
2
=A,或A(E-A)=O, 则 r(A)+r(E-A)≤n, 再由r(A)+r(E-A)≥r(E)=n得r(A)+r(E-A)=n, 而E-A=αα
T
,从而r(E-A)=r(αα
T
)=r(α)=1,于是r(A)=n-1, 方程组AX=0的基础解系含一个线性无关的解向量, 再由Aα=(E-αα
T
)α=α-α=0得α为AX=0的基础解系, 故AX=0的通解为X=kα(其中k为任意常数). [*] 由B
2
=B得B的特征值为0,1, 再由tr(B)=a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2
=α
T
α=1得B的特征值为λ
1
=λ
2
=…=λ
n-1
=0,λ
n
=1, 故A的特征值为λ
1
=λ
2
=…=λ
n-1
=1,λ
n
=0, 因为A
T
=A,所以A可相似对角化.
解析
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考研数学三
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