2. 考研
  3. 设a为n维列向量，且A=E-ααT． (Ⅰ)证明：A2=A的充分必要条件是α为单位向量； (Ⅱ)若α为单位向量，求齐次线性方程组AX=0的通解； (Ⅲ)若α为单位向量，求矩阵A的特征值，判断A是否可相似对角化．

设a为n维列向量，且A=E-ααT． (Ⅰ)证明：A2=A的充分必要条件是α为单位向量； (Ⅱ)若α为单位向量，求齐次线性方程组AX=0的通解； (Ⅲ)若α为单位向量，求矩阵A的特征值，判断A是否可相似对角化．

admin2022-12-09  23
问题 设a为n维列向量，且A=E-ααT．
(Ⅰ)证明：A2=A的充分必要条件是α为单位向量；
(Ⅱ)若α为单位向量，求齐次线性方程组AX=0的通解；
(Ⅲ)若α为单位向量，求矩阵A的特征值，判断A是否可相似对角化．
选项
答案(Ⅰ)A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-2ααT+ααT·ααT， 令αT·α=k，则A2=E-(2-k)ααT， 故A2=A的充分必要条件是k=1，即α为单位向量． (Ⅱ)由α为单位向量得A2=A，或A(E-A)=O， 则 r(A)+r(E-A)≤n， 再由r(A)+r(E-A)≥r(E)=n得r(A)+r(E-A)=n， 而E-A=ααT，从而r(E-A)=r(ααT)=r(α)=1，于是r(A)=n-1， 方程组AX=0的基础解系含一个线性无关的解向量， 再由Aα=(E-ααT)α=α-α=0得α为AX=0的基础解系， 故AX=0的通解为X=kα(其中k为任意常数). [*] 由B2=B得B的特征值为0，1， 再由tr(B)=a12+a22+…+an2=αTα=1得B的特征值为λ1=λ2=…=λn-1=0，λn=1， 故A的特征值为λ1=λ2=…=λn-1=1，λn=0， 因为AT=A，所以A可相似对角化.
解析
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考研数学三

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