首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设a为n维列向量,且A=E-ααT. (Ⅰ)证明:A2=A的充分必要条件是α为单位向量; (Ⅱ)若α为单位向量,求齐次线性方程组AX=0的通解; (Ⅲ)若α为单位向量,求矩阵A的特征值,判断A是否可相似对角化.
设a为n维列向量,且A=E-ααT. (Ⅰ)证明:A2=A的充分必要条件是α为单位向量; (Ⅱ)若α为单位向量,求齐次线性方程组AX=0的通解; (Ⅲ)若α为单位向量,求矩阵A的特征值,判断A是否可相似对角化.
admin
2022-12-09
30
问题
设a为n维列向量,且A=E-αα
T
.
(Ⅰ)证明:A
2
=A的充分必要条件是α为单位向量;
(Ⅱ)若α为单位向量,求齐次线性方程组AX=0的通解;
(Ⅲ)若α为单位向量,求矩阵A的特征值,判断A是否可相似对角化.
选项
答案
(Ⅰ)A
2
=(E-αα
T
)(E-αα
T
)=E-2αα
T
+αα
T
·αα
T
, 令α
T
·α=k,则A
2
=E-(2-k)αα
T
, 故A
2
=A的充分必要条件是k=1,即α为单位向量. (Ⅱ)由α为单位向量得A
2
=A,或A(E-A)=O, 则 r(A)+r(E-A)≤n, 再由r(A)+r(E-A)≥r(E)=n得r(A)+r(E-A)=n, 而E-A=αα
T
,从而r(E-A)=r(αα
T
)=r(α)=1,于是r(A)=n-1, 方程组AX=0的基础解系含一个线性无关的解向量, 再由Aα=(E-αα
T
)α=α-α=0得α为AX=0的基础解系, 故AX=0的通解为X=kα(其中k为任意常数). [*] 由B
2
=B得B的特征值为0,1, 再由tr(B)=a
1
2
+a
2
2
+…+a
n
2
=α
T
α=1得B的特征值为λ
1
=λ
2
=…=λ
n-1
=0,λ
n
=1, 故A的特征值为λ
1
=λ
2
=…=λ
n-1
=1,λ
n
=0, 因为A
T
=A,所以A可相似对角化.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dkgD777K
0
考研数学三
相关试题推荐
“wen”的声母和韵腹分别是_____、_____。
对同一组学生实施多次测试,每次测试的结果基本一致,说明该测试的()较高。
“马虎”包含两个音节,两个语素,一个词。()
秦始皇统一六国后推行的标准字体是()。
简述地役权的特征。
蔡元培对大学精神的解释是()。
研究人员发现,每天食用五份以上的山药、玉米、胡萝卜、洋葱或其他类似蔬菜可以降低患胰腺癌的风险。他们调查了2233名受访者,其中有532名胰腺癌患者,然后对癌症患者食用的农产品加以分类,并询问他们其他的生活习惯,比如总体饮食和吸烟情况,将其与另外1701人的
甲、乙两个圆柱体容器,底面积之比为5:3,甲容器水深20厘米,乙容器水深10厘米,再往两个容器中注入同样多的水,使得两个容器的水深相等,这时水深为()。
求下列函数极限
当x→0时,用“o(x)″表示比x高阶的无穷小,则下列式子中错误的是().
随机试题
电阻并联电路中,能够成立关系的是()。
以下哪一种CΥ征象最有助于脑外肿瘤的诊断:
石料抗压试验要求破坏荷载应控制在压力机全程的20%~80%。()
在工程项目策划和决策阶段,项目建议书、可行性研究报告是()的工作成果。
下列选项不属于现代营销管理指导思想的是()。
研究学校情境中学与教的基本心理规律的心理学分支学科是()
在一行政诉讼案中,作为被告的某行政机关委托某律师担任诉讼代理人。该律师在诉讼期间调查收集了充分的证据材料。下列关于该律师做法的选项正确的是()。
学生认识具有与人类认识过程不同的显著特点是()。
Theideawasquitebrilliant.
Oneinsix.Believeitornot,that’sthenumberofAmericanswhostrugglewithhunger.Tomaketomorrowalittlebetter,Feedin
最新回复
(
0
)