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设β1=α1，β2=α1+α2，β3=α1+α2+α3，β4=α1+α2+α3+α4，且向量组α1，α2，α3，α4线性无关，证明：向量组β1，β2，β3，β4也线性无关．
设β1=α1，β2=α1+α2，β3=α1+α2+α3，β4=α1+α2+α3+α4，且向量组α1，α2，α3，α4线性无关，证明：向量组β1，β2，β3，β4也线性无关．
admin
2016-07-11
17
问题
设β
1
=α
1
，β
2
=α
1
+α
2
，β
3
=α
1
+α
2
+α
3
，β
4
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，且向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关，证明：向量组β
1
，β
2
，β
3
，β
4
也线性无关．
选项
答案
设存在一组数k
1
，k
2
，k
3
，k
4
，使k
1
β
1
+k
2
β
2
+k
3
β
3
+k
4
β
4
=0， 则k
1
α
1
+k
2
(α
1
+α
2
)+k
3
(α
1
+α
2
+α
3
)+k
4
(α
1
+α
2
+α
3
+α
4
)=0， 即(k
1
+k
2
+k
3
+k
4
)α
1
+(k
2
+k
3
+k
4
)α
2
+(k
3
+k
4
)α
3
+k
4
α
4
=0， 又因为α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性无关，故 [*] 从而得k
1
=k
2
=k
3
=k
4
=0，所以向量组β
1
，β
2
，β
3
，β
4
也线性无关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dlyR777K
本试题收录于：
线性代数（经管类）题库公共课分类
0
线性代数（经管类）
公共课
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