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设f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数f’(x)在开区间(0,c)内存在且单调减小,f(0)=0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)其中a、b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c.
设f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数f’(x)在开区间(0,c)内存在且单调减小,f(0)=0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)其中a、b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c.
admin
2016-03-26
32
问题
设f(x)在闭区间[0,c]上连续,其导数f’(x)在开区间(0,c)内存在且单调减小,f(0)=0,试应用拉格朗日中值定理证明不等式f(a+b)≤f(a)+f(b)其中a、b满足条件0≤a≤b≤a+b≤c.
选项
答案
f(a+b)≤f(a)+f(b),就是要证明f(a+n)一f(a)一f(b)≤0.又f(0)=0, 所以,只要证明f(a+b)一f(a)一f(b)+f(0)≤0.而f(a+b)一f(a)一f(b)+f(0)=[f(a+b)一f(b)]一[f(a)一f(0)]=f’(ξ
2
)a一f’(ξ
1
)a=a[f’(ξ
2
)一f’(ξ
1
)]0≤ξ
1
≤a,b≤ξ
2
≤a+b 又f’(x)单调减少,则f’(ξ
2
)≤f’(ξ
1
),从而有f(a+b)一f(a)一f(b)+f(0)≤0. 故 f(a+b)≤f(a)+f(b)
解析
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考研数学三
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