设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．

admin2021-03-16 38

问题设A为n阶矩阵，则下列结论正确的是( )．

选项 A、若r(A)＝n，则A一定可相似对角化
B、若A可相似对角化，则r(A)＝n
C、若r(A)＝n，则A与E合同
D、若A²＝A，则A一定可相似对角化

答案D

解析取A＝

，显然r(A)＝3，A的特征值为λ₁＝λ₂＝λ₃＝1，
因为r(E－A)＝2，所以A不可相似对角化，A不对；
取A＝

，因为A^T＝A，所以A可相似对角化，但r(A)＝2＜3，B不对；
取A＝

，显然r(A)＝3，但A与E不合同，C不对，应选D
事实上，由A²＝A得A的特征值为0，1，
由A²＝A，即A(E－A)＝0得r(A)＋r(E－A)≤n，
再由r(A)＋r(E－A)≥r(E)＝n得r(A)＋r(E－A)＝n，
特征值λ＝0对应的线性无关的特征向量个数为n－r(0E－A)＝n－r(A)；
特征值λ＝1对应的线性无关的特征向量个数为n－r(E－A)，
因为n－r(A)＋n－r(E－A)＝n，所以A可相似对角化，应选D

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考研数学二

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